Fungsi

1. Misalkan A dan B himpunan.• Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.• Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f:A B yang artinya f memetakan A ke B.• A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.• Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

2. • Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan A B elemen b di dalam B. f• Jika f(a) = b, maka b dinamakan a b bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre- image) dari b.• Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

3. Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk,diantaranya: • Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. • Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2 dan f(x) = 1/x. • Kata-kata Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”.

4. • Kode program (source code)Contoh:Fungsi menghitung |x| function abs(x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end;

5. • Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B.• f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w.• Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B.• Jelajah (kodomain) dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.

6. • Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A.• Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}.

7. • Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan fungsi• Karena tidak semua elemen A dipetakan ke B atau ada elemn A yang tidak dipetakan ke B• Relasi f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi,• Karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v.

8. Fungsi f dikatakan satu- A Bke-satu (one-to-one) a 1atau injektif (injective) b 2 3 cjika tidak ada dua d 4elemen himpunan A 5yang memiliki bayangansama.

9. • Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu• Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.

10. • Misalkan f : Z Z. Tentukan apakah f(x) = x2+1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?Penyelesaian:• (i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2 2.• (ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a b, a – 1 b – 1. Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.

11. • Fungsi f dikatakan dipetakan pada A B (onto) atau surjektif (surjective) a 1 jika setiap elemen himpunan B b 2 merupakan bayangan dari satu c 3 atau lebih elemen himpunan A. d• Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

12. • Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada (onto) karena w tidak termasuk jelajah dari f.• Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada (onto) karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.

13. • Misalkan f : Z Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi pada (onto)?Penyelesaian:• f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f.• f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.

14. • Fungsi satu ke satu A B bukan surjektif (onto) a 1 2 b 3 c 4 A B• Fungsi surjektif (onto) a b 1 bukan satu ke satu c 2 3 dc

15. • Bukan fungsi satu ke A B satu maupun onto a 1 2 b c 3 dc 4 A B• Bukan fungsi a b 1 2 c 3 dc 4

16. • Fungsi f dikatakan berkoresponden satu- ke-satu atau bijeksi (bijection)• Jika f fungsi satu-ke-satu (one to one) dan juga fungsi pada (onto).

17. • Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke- satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.• Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

18. • Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke- satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f.• Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1 (b) = a jika f(a) = b.

19. • Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya.• Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

20. • Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}• Jadi, f adalah fungsi invertible.

21. Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1!Penyelesaian:• Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada.• Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f -1 (x) = y +1.

22. Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1.Penyelesaian:• Dari Contoh sebelumnya kita sudah menyimpulkan bahwa f(x) = x2 + 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada.• Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah fungsi yang not invertible.

23. • Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B• f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C.• Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh : (f g)(a) = f(g(a))

24. • Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w},• fungsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}.• Fungsi komposisi dari A ke C adalah f g = {(1, y), (2, y), (3, x) }

25. • Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f g dan g f !• Penyelesaian:vf g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2v (g f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2.

26. 1. Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.• Fungsi floor dari x: x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x• Fungsi ceiling dari x: x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x

27. Beberapa contoh fungsi floor dan ceiling 3.5 = 3 3.5 = 4 0.5 = 0 0.5 = 1 4.8 = 4 4.8 = 5 – 0.5 = – 1 – 0.5 = 0 –3.5 = – 4 –3.5 = – 3

28. 2. Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.• a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m• a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m.

29. • Beberapa contoh fungsi modulo 25 mod 7 = 4 16 mod 4 = 0 36mod 5 = 1 0 mod 5 = 5 –25 mod 7 = 3 (sebab –25 = 7 (–4) + 3 )

30. 3. Fungsi Faktorial 1 ,n 0 n! 1 2 L. (n 1) n , n 04. Fungsi Eksponensial 1 ,n 0 an 1 4 L4a a 4243 , n 0 a n Untuk kasus perpangkatan negatif, n 1 a an

31. 5. Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik berbentuk a y y log x x a

32. 6. Fungsi Rekursif Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. Contoh: n! = 1 2 … (n – 1) n = (n – 1)! n. 1 ,n 0 n! n (n 1)! , n 0